5.3 Proceso de nacimiento o muerte.

 5.3 Proceso de nacimiento o muerte. 

La mayor parte de los modelos elementales de colas suponen que las entradas (llegada de clientes) y las salidas (clientes que se van) del sistema ocurren de acuerdo con un proceso de nacimiento y muerte. Este importante proceso de teoría de probabilidad tiene aplicaciones en varias áreas. Sin embargo, en el contexto de la teoría de colas, el termino nacimiento se refiere a la llegada de un nuevo cliente al sistema de colas, mientras que el termino muerte se refiere a la salida del cliente servido. El estado del sistema en el tiempo t (t ≥ 0), denotado por N (t), es el número de clientes que hay en el sistema de colas en el tiempo t. El proceso de nacimiento y muerte describe en términos probabilísticos como cambia N (t) al aumentar t. En general, sostiene que los nacimientos y muertes individuales ocurren de manera aleatoria, y que sus tasas medias de ocurrencia dependen del estado actual del sistema. De manera más precisa, los supuestos del proceso de nacimiento y muerte son los siguientes:

Supuesto 1. Dado N (t) = n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para el próximo nacimiento (llegada) es exponencial con parámetro λn (n 5 0, 1, 2,. . .).

Supuesto 2. Dado N (t) = n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para la próxima muerte (terminación de servicio) es exponencial con parámetro µn (n = 1, 2,. . .).

Supuesto 3. La variable aleatoria del supuesto 1 (el tiempo que falta hasta el próximo nacimiento) y la variable aleatoria del supuesto 2 (el tiempo que falta hasta la siguiente muerte) son mutuamente independientes. La siguiente transición del estado del proceso es 

n → n + 1 (un solo nacimiento) 

o 

n → n - 1 (una sola muerte),

Lo que depende de cuál de las dos variables es más pequeña.

En el caso de un sistema de colas, λn y µn representan, respectivamente, la tasa media de llegada y la tasa media de terminaciones de servicio, cuando hay n clientes en el sistema. En algunos sistemas de colas, los valores de las λn serán las mismas para todos los valores de n, y las µn también serán las mismas para toda n excepto para aquella n tan pequeña que el servidor este desocupado (es decir, n = 0). Sin embargo, las λn y las y µn también pueden variar en forma considerable con n para algunos sistemas de colas Por ejemplo, una de las formas en las que λn puede ser diferente para valores distintos de n es si los clientes potenciales que llegan se pueden perder (rechazar la entrada al sistema) con mayor probabilidad a medida que n aumenta. De manera similar, µn puede ser diferente ante valores distintos de n debido a que existe una mayor probabilidad de que los clientes renuncien (se vayan sin haber sido servidos) a medida que aumenta el tamaño de la cola. Uno de los ejemplos de la sección

Distribución de llegadas.

Definir el proceso de llegada para una línea de espera implica determinar la distribución de probabilidad para la cantidad de llegadas en un periodo dado. Para muchas situaciones de línea de espera, cada llegada ocurre aleatoria e independientemente de otras llegadas y no podemos predecir cuándo ocurrirá. En tales casos, los analistas cuantitativos has encontrado que la distribución de probabilidad de Poisson proporciona una buena descripción del patrón de llegadas. La función de probabilidad de Poisson proporciona la probabilidad de x llegadas en un periodo específico. La función de probabilidad es como sigue: 

P(x)= μ x e^-λ/ x! Para x= 0, 1,2,…

MODELO DE NACIMIENTO PURO

p0 (t) = Probabilidad de que no ocurran llegadas durante un periodo de tiempo t

Dado que el tiempo entre llegadas es exponencial y que la tasa de llegadas es de λ clientes por unidad de tiempo

La distribución exponencial se basa en la suposición de que durante h > 0, cuando mucho puede ocurrir un evento (llegada). Por lo tanto, a medida que h→ 0,

p1 (h) = 1 - p0 (h) ≈ λh

Este resultado muestra que la probabilidad de una llegada durante h es directamente proporcional a h, con la tasa de llegadas, λ, como constante de proporcionalidad.

Para derivar la distribución de la cantidad de llegadas durante un periodo t cuando el tiempo entre llegadas es exponencial con media 1/λ defina

pn(t) = Probabilidad de n llegadas durante t

Para un h > 0 suficientemente pequeño,

En la primera ecuación habrá n llegadas durante t + h si hay n llegadas durante t y ninguna llegada durante h, o n - 1 llegadas durante t y una llegada durante h. No se permiten todas las demás combinaciones porque, de acuerdo con la distribución exponencial, a lo sumo puede haber una llegada durante un periodo h muy pequeño. La ley del producto de las probabilidades es aplicable al lado derecho de la ecuación porque las llegadas son independientes. En cuando a la segunda ecuación, durante t + h puede haber cero llegadas sólo si no hay llegadas durante t y h. 

Ésta es una distribución de Poisson con media de llegadas durante t. 

El resultado anterior muestra que si el tiempo entre llegadas es exponencial con media 1/ λ, entonces la cantidad de llegadas durante un periodo específico t es Poisson con media λ t. Lo contrario también funciona. 

La siguiente tabla resume las relaciones entre las distribuciones exponenciales y de Poisson, dada la tasa de llegadas λ:

Modelo de muerte pura 

En el modelo de muerte pura, el sistema se inicia con N clientes en el instante 0, sin llegadas nuevas permitidas. Las salidas ocurren a razón de m clientes por unidad de tiempo. 
Para desarrollar las ecuaciones diferenciales de la probabilidad pn(t) de que n clientes permanezcan después de t unidades de tiempo, seguimos los argumentos utilizados con el modelo de nacimiento puro. Por lo tanto,