5.4 Modelos Poisson

 Para una única variable independiente X, es un modelo de la forma: o, para simplificar la notación donde ln significa logaritmo neperiano, a0 y a1 son constantes y X una variable que puede ser aleatoria o no, continúa o discreta. Este modelo se puede fácilmente generalizar para k variables independientes: 

Por lo tanto a0 es el logaritmo de l (probabilidad de que ocurra un evento en un intervalo de tamaño unidad) cuando todas las variables independientes son cero, y ahí es el cambio en el logaritmo de l (o logaritmo del cociente de l) cuando la variable Xi aumenta una unidad, manteniéndose constantes las demás o, dicho de otro modo, es la probabilidad de que ocurra un evento en un intervalo unidad cuando todas las variables independientes son cero y l el cociente de dicha probabilidad para un aumento de una unidad en la variable Xi (riesgo relativo). 

Obsérvese que, al igual que en la regresión logística, el modelo supone efectos multiplicativos, es decir, si la variable Xi aumenta n unidades, la probabilidad para la variable de Poisson se multiplica por es decir, la potencia n-ésima.

Definición: Sea n la variable aleatoria discreta que mide el número de clientes que llegan a un sistema de líneas de espera, entonces la probabilidad de que 

n = k está dada por: 

 

 Donde λ es el promedio de éxitos en la unidad de tiempo. 

Teorema. La esperanza matemática y la varianza de esta función de distribución está dada por: 

E(n)= λ t 

V(n)= λ t 

La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado número de eventos durante cierto periodo de tiempo. 

Propiedades: La función de masa de la distribución de Poisson es donde k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nos da la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces). λ es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera que ocurra el fenómeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo de distribución de Poisson con λ = 10×4 = 40. 

5.4.1 Modelos Poisson Un servidor. 

Cálculos en los modelos de colas 

(M/M/1) :(DG /∞/∞). Con la notación del modelo generalizado se tiene que µn= µ⅄ {n= ⅄}, n=0, 1, 2,… 

También, ⅄n= ⅄ y ⅄perdido=0, porque todos los clientes que llegan, pueden entrar al sistema. Si P= ⅄µ, la ecuación de Pn en el modelo generalizado se reduce entonces a 

Para determinar la P0 se usa la identidad 

Suponiendo que p < 1, la serie geométrica tiene la suma finita de, y entonces La fórmula general de Pn es entonces de la siguiente distribución geométrica: La deducción matemática de Pnimpone la condición que p < 1 o que ⅄ < µ. Si ⅄ >= µ, la serie geométrica no converge, y no existirán las probabilidades Pn de estado estable. Este resultado tiene sentido, intuitivamente, porque a menos que la tasa de servicios sea mayor que la frecuencia de llegada, la cola crece en forma indefinida. 

5.4.2 Modelos Poisson Múltiples servidores. 

El modelo de múltiples servidores, los clientes forman una sola fila y escogen, entre servidores, aquel que esté disponible. El sistema de servicio tiene una sola fase. Partiremos de las siguientes suposiciones, además de las que hicimos para el modelo con un solo servidor: tenemos s servidores idénticos, y la distribución del servicio para cada uno de ellos es exponencial, con un tiempo medio de servicio iguala 1/µ. 

Con estas suposiciones, podemos aplicar varias formulas a fin de describir las características de operación de servicio: